الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
الأعدادالمركبة(ComplexNumbers)هيأحدأهمالمفاهيمفيالرياضيات،حيثتمثلامتدادًاللأعدادالحقيقيةوتستخدمفيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية.فيهذاالمقال،سنستعرضتعريفالأعدادالمركبة،خصائصها،كيفيةتمثيلها،وأهمالعملياتالحسابيةالمتعلقةبها.الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
تعريفالأعدادالمركبة
العددالمركبهوعدديمكنالتعبيرعنهبالصيغة:
[z=a+bi]
حيث:
-(a)و(b)هماعددانحقيقيان.
-(i)هيالوحدةالتخيلية،وتحققالمعادلة(i^2=-1).
يُطلقعلى(a)اسم"الجزءالحقيقي"للعددالمركب،بينمايُسمى(b)"الجزءالتخيلي".
تمثيلالأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالأعدادالمركبةبعدةطرق،منها:
- التمثيلالجبري:(z=a+bi)
- التمثيلالهندسي:يُمكنرسمالعددالمركبعلىالمستوىالمركب(ComplexPlane)،حيثيمثلالمحورالأفقيالجزءالحقيقيوالمحورالرأسيالجزءالتخيلي.
- التمثيلالقطبي:يُكتبالعددالمركبباستخدامالزاويةونصفالقطركالتالي:
[z=r(\cos\theta+i\sin\theta)]
حيث(r)هوالمقدار(Modulus)و(\theta)هيالزاوية(Argument).
العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة
1.الجمعوالطرح
لجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل:
[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i]
[(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i]
2.الضرب
يتمضربعددينمركبينباستخدامخاصيةالتوزيعمعالأخذفيالاعتبارأن(i^2=-1):
[(a+bi)\cdot(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i]
3.القسمة
لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقاملإزالة(i)منالمقام:
[\frac{ a+bi}{ c+di}=\frac{ (a+bi)(c-di)}{ c^2+d^2}]
خصائصالأعدادالمركبة
- المرافقالمركب:إذاكان(z=a+bi)،فإنمرافقههو(\overline{ z}=a-bi).
- المقدار(Modulus):يُحسبباستخدامنظريةفيثاغورس:
[|z|=\sqrt{ a^2+b^2}] - صيغةأويلر:تربطالأعدادالمركبةبالدوالالمثلثية:
[e^{ i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta]
تطبيقاتالأعدادالمركبة
تستخدمالأعدادالمركبةفيالعديدمنالمجالاتمثل:
-الهندسةالكهربائية:تحليلالدوائرالمتناوبة.
-الفيزياء:فيميكانيكاالكمومعادلاتالموجة.
-معالجةالإشارات:تحويلفورييهيستخدمالأعدادالمركبةلتحليلالترددات.
الخلاصة
الأعدادالمركبةهيأداةرياضيةقويةتوسعنطاقالأعدادالحقيقيةوتقدمحلولًاللمعادلاتالتيلاتملكحلولًاحقيقية.بفهمأساسياتهاوتمثيلاتهاالمختلفة،يمكنتطبيقهافيمجالاتمتعددةلتحليلوحلالمشكلاتالمعقدة.
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسطإذاكنتمهتمًابتعلمالمزيد،يُمكنكاستكشافموضوعاتمثل"تحليلالدوالالمركبة"أو"نظريةالأعدادالمركبة"للتعمقفيهذاالمجالالرائع!
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط